2019-计算机组织与结构-lecture03

Integer, Floating-point and Decimal Representation

1. 数据的二进制表示

1. 为表示出多个数值，必须对多个位进行组合
   • 如果有k位，最多能区分2^k个不同的值。
2. 整数类型:
   1. 无符号整数:0 - (2^k-1)
   2. 有符号整数:( - 2^k-1 - 2^k-1-1)
      1. 原码、反码、补码
      2. 原码和反码在进行加法运算时都会造成不必要的硬件需求，于是出现了补码
      3. 二进制补码转换
      4. 二进制-十进制转换
3. 常见问题:
   1. 只能确定最多表示多少个数，而不能确定具体表示啥。

1.1. 补码

1. 可以解决正负数相加减的问题。
   • 但是不会影响其加减的运算能力。
2. 补码是原码的"取反加一"。
3. 为什么会存在补码?
   1. 比如用钟表表示(-6)-5，可以看成就是把大的数字减去12，得到的即可。
   2. 接下来类比，我们找到0,按照顺序来排位我们可以知道(1000····0是最最小的)，接下来1开头的所有的数字的无符号值，减去2^k得到的就是实际的负值。
   3. 那么接下来如何计算呢？
4. x_补码+(-x)_补码 = 2^k
5. 证明为什么是取反加一:(-x)_补码 = ((2^k-1) - x_补码) + 1
   • 对应取反加一

1.2. 数据移动

1. 逻辑左移:右端补充0
2. 算术左移:右端补充0
3. 逻辑右移:左侧补充0
4. 算术右移:左侧补充符号位

1.2.1. 补码的具体计算

1. 过程:
   1. 数值=x_k-1*2^k-1 + ··· + x₁*2¹+ x₀*2⁰ - x_k-1*2^k(最大值，类比为12)
   2. = -x_k-1*2^k-1 + x_k-2*2^k-2 + ··· + x₁*2¹ + x₀*2⁰
2. 用数轴来解释，所以是在数轴上平移到右边，所以是取模的操作。

2. 浮点数操作

1. 为什么我们需要表示浮点数?
   • 除了整数以外，我们还有很多浮点数的操作。
2. 规定小数点的位置，小数点的位置可以来区分不同的浮点数，那么我们为什么不使用这样的方法？(定点数)
   • 因为这样的话，精度每提高一位，窗口缩小一倍，浮点数表示的范围比较大。
   • (-2^k-1-(2^k-1-1))*2^-1
3. 为什么浮点数可以表示一个更大的范围？
   • 牺牲了比较大的部分的精度。

2.1. 浮点数

1. 符号只需要一位。
2. 基数是确定的，自己约定好的。

2.2. IEEE754标准

1. 固定小数点位数:定下x的小数点位置。

2.2.1. IEEE754标准要求

2.2.2. 计数法约定

1. 理论上我们可以表示出来所有的数字，总能移到1出现的位置。
2. 偏移量为设定为127，基数设定为2。

2.2.3. 表示范围

1. 符号位:正负
2. 指数范围:-127-128
3. 数值范围:1-(2-2^-23)(1.111…1)
4. 能表示的数字总数一定为什么表示的范围增大了？
   • 稀疏了，在原来的里面变化是均匀的
   • 每次E变大的时候，会造成在小的时候的间隔是2^-23-127，而在大的时候的间隔是2^-23+128
5. 为什么这样子表示有意义的？
   • 对于一个很大的数，只要能保证一个大致的量即可，比较小的量无关紧要。
   • 而对很小的数就有意义。
6. 所以在2^-1-1.111…1中有2²³份的每一份，1.111…1和2⁰这个距离是相同的。
   • 越靠近0越密
7. 问题:存在无法表示的位置，-2^-127和2^-127无法进行表示。无法表示0。
   1. 从总体上来讲，这个问题比较小。
   2. 但是从相邻的2^-126中可以看到这是很大的。
8. 问题解决:想要表示这些数据，我们就需要牺牲一部分表示别的的数字来表示中间的部分。

2.2.4. 问题解决:表示靠近0的比较小的数字

1. 我们使用特殊的规定来表示这样的数字。
2. 基数E为0，但是值S不全为0，这部分拿出来，重新布局到-2^-126-2^-126这部分中去，一共有2²⁴-2个元素。
   • 这时候我们只要在前面加上0.bbb…b即可,也就是0.bbb…b*2^-126
   • 这时候我们就需要乘以2^-126
3. 基数E不为0，S也不为0，是1.bbb…b*2^E-127

2.2.5. 问题解决:特别大的数

1. 正无穷，负无穷:基数255

2.2.6. 总共能表示的数字的数量

1. 2³²
2. -2+1(0)
3. -2+2(NaN)
4. -(2²³-1)*2+1(无穷大)
5. 总体上比2³²要小。

2.3. 如何调整后这个模型

1. B大一点:会影响精度
   • 里面会变密，外面会变稀疏
   • 外面会快很多。
2. 把指数位变大:棍子会减少

2.4. 扩展版——64位

2.5. 例子

3. 其他的要求存在的问题

1. 浮点数在表示比较大的数字的时候，精度比较低。
2. 定点数的问题:范围会减少。
3. 问题:我们需要比较大的数字，也许要比较高的精度。

3.1. NBCD(W8421)

1. 符号位置:
   1. 1100是正号。或者0
   2. 1101是负号。或者1
2. 好处和优点:
   1. 十进制和BNCD的转换很自然很准确
   2. 也支持小数，有几位也都可以